GMAT中我最喜歡算數學，因為它大部分都是國中程度。大學曾有好一段時間都在教國中生數學，舉凡因式分解、方程式、簡單幾何（三角形、圓形等）的全等相似與角邊關係，以及排列組合、機率等，涵蓋了數學這領域的基本觀念及四則運算。當然，都是用手算。尤其研究所以後，幾乎我所需的運算都是透過電腦執行，但親手算數學才能體會數學在你掌心中把玩的樂趣，不斷練習還能增加對數字的靈敏度，感覺聰明了一倍！國中數學當然簡單，但也不是那麼理所當然。想當年我們從考卷、參考書和補習班中也一定做過不少艱澀的難題，這麼難，對國中生來說多做無益，但那是一種挑戰，至少我就見過不少優秀學生不吃飯不休息也拼了命要解一道題，終於解出來後，在他們臉上一定高掛兩條得意的眉毛，兼裂一口笑容。其實數字有很多特性都是在一些很有意思的題目中才發現的，比如底下這道題：
A student has a balance scale and five metal weights of 1,2,4,8, and 16 ounces, respectively. If the student can determine the exact weights of n objects, each of a different weight, by using one or any combination of these five metal weights, what is the maximum value of n?
老師說了三種解法。第一種：想五顆砝碼可以任取一顆、二顆到五顆，所以n等於C5取1加C5取2加到C5取5，等於31。第二種：想五顆砝碼每一顆都可以選擇要【取】或【不取】，所以答案為2連乘五次（2的五次方）減掉五顆都不取的情況，等於31。但這兩種方法都不能保證每一種取法所得到的砝碼重量不會重複，重複的話n就不是31了，到最後還是得回去檢查。第三種：一個一個算。所以老師有說等於沒有說，總之就是要逐數字去算。難道真是如此嗎？
砝碼可以堆出1,2,3盎司的重量，這一眼就可以看出來了。接下來我們有一顆4盎司的砝碼，這表示到7盎司之前的重量我們都能秤出來，因為大於4盎司的重量可以分解成4盎司＋1,2,3盎司，最多可以加到7。同理，既然1到7盎司的重量都能秤，我們又有一顆8盎司的砝碼，所以15盎司之前的重量也都沒問題，最後再加上16盎司的砝碼，我們可以秤到31。
如果你對數字還算敏感，一定注意到砝碼的重量為：2的0次方、2的1次方、2的2次方……，也只有砝碼成2的次方排列才能準確無誤地秤出每一種重量，但為什麼呢？
一個公式：2的0次方＋2的1次方＋……＋2的n次方＝2的n+1次方－1。
直覺告訴我可以從上述公式出發，只是我也還沒有想到一個完整的解釋，就由大家來動動腦筋吧！
語：用MathType打出來的公式貼不上來，只好請大家辛苦些。
外一章：
費曼所處的時代電腦有一個房間大，所以他們常常得用雙手計算龐雜的數字，也因此鍛鍊出超強的計算能力，如何在很短的時間內猜對答案是大師們必備的功夫。很難想像原子彈是在那樣的年代中「算」出來的！
6 則留言:
學長：
我個人覺得這邊的邏輯是這樣的：
首先，你有了 {1, 2} 這兩個法碼之後，我們便可以組成 3 公斤重量，所以在有了 1, 2, 3 之後，在 多了 {4} 這法碼之下，我們最多便可以組到 7, 並且其中的 5, 6, 7 的組成都沒有重複用到 1, 2, 4 的法碼，因為 5 = {1}+{4}, 6={2}+4, 7=3+{4}={1}+{2}+{4}。所以，
在上面情況之下，我們利用了 1, 2, 4 這三個法碼組成了一條 [1,7] 的數列，並且每一個重量的組成不會用到同一個法碼兩次。
所以在有了 [1, 7] 這樣子沒問題的數值下，並且其中的數值確定完全由 {1, 2, 4} 這三個法碼組成，所以在多了 {8} 這法碼之下，我們最多可以新得到 [9, 15] 這些數值，並且可以很放心其中的數值符合題目要求，所以配上原本就有的 [1, 7] 還有新的法碼 {8} 跟新得到的數列 [9, 15] ，我們便可以得到[1, 15] 的數列了，並且 [1, 15] 數值符合題目要求。亦即，在原本就有的數值 [1, 7] 之下，多了 {8}， 我們便可以組成 [1, 15] 的數值。
所以，再給定了 {1, 2, 4, 8} 之下，我們又得到了一條可以放心的數列 [1, 15]，所以同理可知，我們在多了 {16} 之下，我們便又可以得到 [17, 31] ，所以在多了 {16} 之下，我們共可以得到 {1, 31} 的數字。
所以依此類推下去，在有了 {32} 之後，我們可以累積到 [1, 63] ，在有了 {64} 之後，我們便可以累積到 [1, 127]， 之後便可以依此類推。
所以我的想法是說， {1, 4, 8, 16, ...} 是題目給定的，如果我們可以從一開始就確定 [1, 2, 3] 沒問題，則自然的 [5, 6, 7] 也沒問題，因為只是題目給的 {4} 加上這些令人放心的 [1, 2, 3] 而已，所以在多了 {8} 之下，我們便可以很自然的延伸到 15 去，後面就可以放心了。所以我只是想說，只要一開始沒問題，多了題目給的值延伸的新數列自然也沒問題，所以便可以依照這邏輯一直延伸下去。
所以這是我的想法，不知道有沒有問題？
學長：
我補充一下，就是因為 2 這數字具有2的0次方＋2的1次方＋……＋2的n次方＝2的n+1次方－1 這樣子的特性，所以我們才有辦法再得到 3 的時候碰上題目給定的 {4} 而可以繼續延伸，在得到 7 的時候碰到給定的 {8} 而可以繼續延伸，後面依此類推。
小熊：
我的第四段基本上就是你的意思，只是為什麼2具有2的0次方＋2的1次方＋……＋2的n次方＝2的n+1次方－1的特性，可以幫助我們推論出「每一種排列方式的重量都不會重複」的結論？
我後來想想答案很簡單。因為按2次方排列的N顆砝碼共有2的n+1次方－1種排列方式（或說是取法），同時我們又發現砝碼共可以排出2的n+1次方－1個相異的數字，不就表示一種取法對一個數字而互不重複嗎！
學長：
我是想去證明說，他們彼此是不會重複的，就是因為我們知道他們彼此是不會重複的情況，才可以知道的是因為排法共有2次方排列的N顆砝碼 2的n+1次方－1 種，又因為剛好是會有2的n+1次方－1 個數字，所以可以知道是一對一的。但是前提是我覺得，我們得先證明出來其不會重複才是。
而2具有2的0次方＋2的1次方＋……＋2的n次方＝2的n+1次方－1的這公式，我覺得是因為在我們知道了2次方排列的N顆砝碼會有 2 的n+1次方－1 種排法，又因為剛好是會有2的n+1次方－1 個數字之下，我們便可以利用這公式 知道只要幾個法碼就可以有幾個不重複的數字。
小熊：
我同意你對於如何「不重複」的論證，那跟我的想法一樣。但你的邏輯順序似乎有些紊亂。你看，我們是先證明：（1）有2 的n+1次方－1 種排法；（2）有2的n+1次方－1 個相異數字。所以得到「不會重複」的結論。
但你回文第一段卻說要【先】「知道他們彼此是不會重複的」，【才】「可以知道…排法共有…2的n+1次方－1 種」，【又】「剛好…有2的n+1次方－1 個數字」，【所以】「可以知道是一對一的」。而你最後一對一的結論不就是你說要先知道的不重複嗎？
其實重不重複不影響排法。假設現在有1,3,4 ounces三顆砝碼，排法為C3取1＋C3取2＋C3取3＝7種，但只能得到6個相異數字，所以必有重複。
學長：
事實上我們的說法是一樣的，只是我表達的不好，像【先】「知道他們彼此是不會重複的」中的「重複」指的是數字組成得符合題目要求，不是指一對一，而我們知道一對一是因為知道了有了有2 的n+1次方－1 種排法又加上剛好有著符合題目要求的數字2的n+1次方－1 個，所以才知道一對一。
我那一段話的【先】「知道他們彼此是不會重複的」只是想去說明我們得先證明出數字的組成符合題目要求。而後面的」，【才】「可以知道…排法共有…2的n+1次方－1 種」，【又】「剛好…有2的n+1次方－1 個數字」才是證明過程。
問題出在我表達上面用了不適合的詞語「重複」來形容 「題目的要求」。
我想，等到有機會當面聊，也許可以更清楚吧。
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