Mean reversion in stock market

股票投資大概是濫用mean reversion最嚴重的災區了，其中market timing相關的分析工具更是最中之最。mean reversion之濫觴來自於它容易被依字面解釋為：「一旦X（股價、報酬率……）偏離平均值的幅度愈大，其回歸均值的機率也愈高」。於是一大票指標被創造出來，如乖離率、KD值、P/E band等等，都是取極值（相信）必回歸平均的概念。

演變到現在，mean reversion已擁有許多重含意，但只有時間數列方法中定義的才真正經過嚴謹理論支持。為溝通方便，且定義mean reverting process如下：

其中R為報酬率，或其他穩定的（stationary）時間數列；μ＝E(R)，即平均報酬率；σW為服從N～(0,σ)的隨機變量。當係數α的絕對值小於1時，R隨時間經過的軌跡就是均值回歸過程（當α＝1，即為random walk）。

接下來澄清幾點一般人對mean reversion常見的誤解：

第一，由於非穩定數列無法收斂造成E(Var)無限大，故只有穩定數列才具有均值回歸特性。股價是非穩定數列，因此我們不能畫一條長期均線，並宣稱當股價偏離此均線越遠，其被拉回均線的機率也越大。報酬率則是相對穩定的數列，因此我們比較能說：美國股市長期年報酬率約7％，因此預期來年的報酬率將往7％處收斂。

均線很多人在用，包括我自己，很多人相信正（負）乖離愈大，股價就傾向於下跌（上漲），他們的理由是：1. 「看起來」的確是如此；2. 均線代表投資人的平均成本，正乖離愈大表示欲獲利了結的買家愈多而賣方愈少；3. 股價會reverse是因為景氣循環（或其他具循環性的因素）。他們認為，什麼穩定不穩定的都只是理論，「實務上」是另一回事。但這些理由都似是而非，首先，均價是各期價格的平均數，除非股價永遠加速度上漲或下跌，否則「看起來」都會像是被均線吸引一樣。說穿了是股價在決定均線，而不是均線在引導股價。其次，並沒有任何可靠的證據說投資人賺了多少％就會獲利了結，或跌了多少就願意進場承接，只要真的有那個價值，即使比均價高100％也會有人願意買，1987～89年的台股就是如此。最後，循環性因子的確存在，但它會體現在R前後期的相關性上，而這既非mean reversion的必要也非充分條件，股價可以具有循環性而不收斂，也可以不具有循環性而收斂。

另一種類似的用法是計算偏離於均線的乖離率，並相信乖離率會reverse。這和上述有一點不同：乖離率收斂不代表股價要反轉。事實上只要股價上漲或下跌的速度減緩，乖離率就會收斂。我沒有去驗證乖離率是否為穩定數列，但乖離率的期望變異數不發散，已具備穩定的條件。此外如果相信報酬率為穩定的話，乖離率也很可能是，因為兩者都在衡量股價漲跌的速度。但乖離率的分配卻是很不穩定的，可能某一段期間乖離了20％才收斂，另一段期間卻不到10％就收斂了，這可能和波動性的從聚效應（clustering）有關，不論如何，即使乖離率真具mean reversion特性，我們也很難猜得準到底什麼時候會reverse。

第二，均值回歸不代表時間數列要負相關。假設今年美股漲20％，很多人以為基於均值回歸，明年美股的期望報酬率要低於7％，或要反跌7％才能讓平均等於期望值，這都是錯的。Revert to the mean，意思是在距離上更靠近均值，而-6％~20％之間的範圍都在絕對距離上更接近7％，因此不一定要低於7％才叫均值回歸。α定義在絕對值<1，目的是讓R呈穩定數列，並沒有規範它一定要為負，事實上當0<α<1，R數列便同時具正相關及復回歸特性。又當α<-1，R數列呈負相關卻是發散的。

舉個例子來說，假設連續丟銅板十次都出現正面，請問第十一次出現反面的機率為何？0.5，只要是公正的銅板永遠都是0.5。你會說：「理論上出現正反面的機率各半，現在正面已經超出（漲）太多了，所以要出現反面才會回歸均值啊！」實際上銅板是藉由如下的過程revert to the mean的：丟十次時，正反比為1：0；假設再丟十次，而這十次出現正反面各五次，於是正反比變成0.75：0.25；持續再丟80次，且其中正反面次數還是各半，則正反比為0.55：0.45；再丟到1000次的正反比0.505：0.495就十分接近0.5了。可以發現若持續一直丟下去，即使往後出現正反面次數都各半，正反比還是朝均值0.5收斂。這說明負相關並非均值回歸的必要條件。話說回來，這個例子的α=0。

上述兩點澄清應該可以解決大多數對mean reversion的誤解。我最討厭人家說：「啊！那是理論。」意思是：理論無用。但如果我們活在一個虛擬空間，眼所見皆分不清真假，此時我們需要的是閉上眼睛，然後像蝙蝠一樣發出超音波偵測真實的世界。

藍、紅、銘黃、淺綠色線分別代表0<α<1, α<1, -1<α<0, α<-1 時R隨時間經過的軌跡

題外話一：很奇怪學術界分析mean reversion大都是用報酬率，但實務上都是看價量。

題外話二：mean reversion應用在股票投資上的困難，除了波動性不具齊一性外，股價前後期的關係也很難確定，現一般認為中短期股價具momentum（即正相關），長期則reverse（負相關，主要受景氣循環影響），因此想靠這觀念賺錢……難。